BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
MÔN: ĐẠI SỐ
I – PHƯƠNG TRÌNH.
(BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x2 – x + m = 0 có hai nghiệm dương x1, x2 sao cho P =
đạt GTLN.
HD: P = x1x2(1 – 3x1x2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
(BT_363_9/07) Cho a ≠ 0. Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 – ax -
=0 . Chứng minh rằng. b4 + c4 ≥ 2 +
.
(BT_363_9/07)Cho a,b,c,d ( R. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 4 phương trình sau có nghiệm. ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + 2cx + d = 0, cx2 + 2dx + a = 0, dx2 + 2ax + b = 0.
(BT_367_1/08) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = 0 , x2 – 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân bệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm.
(BT_366_12/07) Giải phương trình x2(x4 – 1)(x2 + 2) + 1 = 0.
HD: Chuyển về A2 = 0.
(BT_366_12/07) Giải phương trình
.
HD: Đặt u =
, v =
Chuyển phương trình về dạng aA + b
+ cB = 0.
(BT_366_12/07) Giải phương trình x4 = 24x + 32.
HD: Chuyển về A2 = B2.
(BT_359_5/07) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.
(BT_368_2/08) Giải phương trình x4 - 2x3 + 4x2 – 3x – 4 = 0.
(Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x2 + ax + 1 = 0(1), x2 + bx + 1 = 0 (2) , x2 + cx + 1 = 0 (3). Biết tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + abc = 4.
HD: Áp dụng Định lí viét.
. Nhân (4); (5) ta có
.
Từ (4),(5) ta có
. Nhân lại ta có

.
Nghiệm của phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a2 + b2 cũng là số tự nhiên.
Có thể có hay không biệt số ( của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với hệ số nguyên a, b, c bằng 23.
Giả sử a, b, c là các số sao cho 2a , a + b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng với x (Z thì ax2 + bx + c cũng nguyên.
Tìm a ( Z để phương trình có nghiệm nguyên.
a) x2 + ax + a = 0 .
b) x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0.
c) x2 – (1 + 2a)x + 19 – a = 0.
d) x2 + (a + 1)x + a + 2 = 0.
Tìm các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và
là các số nguyên.
Cho f(x) = ax2 + bx + c . Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình af2(x) + bf(x) + c = x vô nghiệm.
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 . Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008
Giả sử |ax2 + bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx2 + bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1.
HD: Giả sử a ≥ 0.
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm.
HD: ay1 > 0 ( PT: ax2 + bx + c = y1 có nghiệm.
b) Cho a = 1. Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt.