ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải quyết một số bài toán khó


Giải bất phương trình :

Đặt

Bất phương trình tương đương với :

ĐS . x > 49 .
Giải phương trình :

Đặt sinx + cosx = t
ta có phương trình :

(()
Xét hàm số : f(t) =
,

Ta có :

Bảng biến thiên :

t

 1


f’(t)

 + 0 -



f(t)

 0



Do đó
hay

Lại có :

Từ đó phương trình (() có nghiệm t=1

Cho hai số thực x, y thoả mãn :
. Chứng minh rằng :


HD .
. Khảo sát hàm số :

Xác định m để bất phương trình :

Nghiệm đúng với mọi
.
ĐS .

Xác định m để bất phương trình :
nghiệm đúng với mọi
.
Xét hàm số : ;
f’(x) = 0
. Ta có bảng biến thiên :

x

 -1


f’(x)

 - 0 +



f(x)









 Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi
thì :
Với giá trị nào của a thì hàm số
được xác định với mọi x .
Để y xác định với mọi x thì



Đặt
, yêu cầu bài toán

Xét 3 trường hợp : t=0,
. ĐS .

Giải phương trình : ĐS .

Cho
. Chứng minh rằng :

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :

Dễ dàng chứng minh, trong tam giác ABC :

Ta sẽ chứng minh :


.
Xét hàm số : f(x) = ln(1+x) – x ,

Hàm số giảm trong khoảng
, nên ln(1+x) < x, với mọi x>0.
Trong tam giác ABC có : sinA >0 , sinB > 0, sinC > 0 suy ra điều phải chứng minh.
Giải phương trình :

ĐK :
Phương trình tương đương với :

(1)
, chứng minh phương trình này chỉ có nghiệm x=2 và x=4
(2)
.ĐS . x =2 v x =4
Cho và
. Chứng minh :

HD . BĐT

Ta sẽ chứng minh :
bằng cách khảo sát hàm số :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
, với x là một số thực dương .
HD .
. ĐS .

Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta luôn có :


HD. Xét hàm số :

Đạo hàm :
, do

Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện :
. Chứng minh rằng:

HD . Chú ý



Do f(x) có ba nghiệm
nên :

Để ý rằng : f(1) = 4-p, f(3) = -p , f(0) =-p, f(4) = 4-p .
Do đó
. Vậy
.
Biết hàm số :
( a, b,c, d là các hằng số
) có cực đại và cực tiểu tại x1 và x2 . Chứng minh rằng :
với

HD . Biến đổi BĐT đã cho thành : b2 -3ac >0 là điều kiện để hàm số có cực trị .

Cho . Chứng minh
HD . BĐT tương đương với :

Các số thực dương a, b, c, d thoả mãn