KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH
PhÇn I
Kho¶ng c¸ch
Phương pháp chung

Phương pháp xác định:
Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng chÐo nhau a vµ b.
PP1: X¸c ®Þnh (P) chøa ®­êng th¼ng a vµ vu«ng gãc víi b. T¹i giao ®iÓm (P) vµ b kÎ ®­êng th¼ng c vu«ng gãc víi a. X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña c víi a vµ b
kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng.
PP2: X¸c ®Þnh (P) chøa a vµ song song víi b
d(a;b) = d(b; (P)).
PP3: X¸c ®Þnh (P) chøa a vµ (Q) chøa b sao cho (P) // (Q)
d(a;b) = d((P);(Q)).

Các ví dụ

VÝ dô 1:
Cho h×nh chãp S. ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA
(ABCD) vµ SA = a.
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ S ®Õn (A1CD) trong ®ã A1 lµ trung ®iÓm cña SA.
Kho¶ng c¸ch gi÷a AC vµ SD.

L­u ý:
®Ó tÝnh kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm A ®Õn mét mÆt ph¼ng (P) ta cã thÓ x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng (Q) chøa ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi (P) sau ®ã ®i x¸c ®Þnh giao tuyÕn cña (P) vµ (Q) råi trong (Q) dùng ®­êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi giao tuyÕn c¾t giao tuyÕn t¹i H.
Khi ®ã, kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (P) chÝnh lµ ®o¹n AH.
§Ó thùc hiÖn bµi to¸n x¸c ®Þnh kho¶ng c¸ch gi÷a mét ®iÓm víi mét mÆt ph¼ng:
B1: X¸c ®Þnh (Q) vµ Chøng minh (Q)
(P).
B2: X¸c ®Þnh giao tuyÕn cña (P) vµ (Q).
B3: Trong (Q) h¹ ®­êng vu«ng gãc víi giao tuyÕn.

Gi¶i ( Tự vẽ hình)
TÝnh
:
Ta cã, CD
AD vµ CD
SA nªn CD
(SAD)
Hay (A1CD)
(SAD) v× CD
(A1CD).
Cã A1D = (A1CD)
(SAD). Trong (SAD) kÓ SH
A1D.
Suy ra, SH
(A1CD) hay
= SH.
XÐt
SA1D cã



Cã SA = a, AD = a,

Suy ra,

TÝnh
:
Trong (ABCD) kÎ d ®i qua D vµ song song víi AC c¾t AB t¹i B’.
Khi ®ã, AC // = DB’ = a
, AB’ // = CD = a.

AC // (SB’D) mµ SD
(SB’D)
Suy ra,

Gäi I lµ trung ®iÓm cña SB’.
XÐt
SAB’ c©n t¹i A (v× SA = AB’ = a) nªn AI
SB’

SB’D ®Òu (SD = SB’ = DB’ = a
) nªn DI
SB’

SB’
(ADI) hay (SB’D)
(ADI)
Cã DI = (SB’D)
(ADI). Trong (ADI) kÎ AK
DI
AK
(SB’D)
Suy ra,

XÐt
ADI vu«ng t¹i A v× AD
(SAB), AI
(SAB) nªn AD
AI


Cã AD = a, AI =
,

(trung tuyÕn cña tam gi¸c ®Òu).
Suy ra,

VËy
= a.

VÝ dô 2:
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thoi t©m O c¹nh a, gãc ABC b»ng 600.
SO
(ABCD) vµ SO =

TÝnh
.
TÝnh
.

Gi¶i ( Tự vẽ hình)

:
Trong (ABCD) kÎ d qua O vu«ng gãc víi AD vµ BC t¹i E vµ F.
Khi ®ã, EF
CD vµ SO
CD mµ EF
SO trong (SEF)

CD
(SEF) cã CD
(SCD)
(SEF)
(SCD)
Mµ SF = ((SEF)
(SCD). Trong (SEF) kÎ OH
SF
Suy ra, OH
(SCD) hay

XÐt
SOF cã

Cã SO =

Trong
OCD cã

Cã
(v× ABCD lµ h×nh thoi cã

Nªn


Trong
SOF cã

Suy ra,

VËy

TÝnh
:
Trong (ABCD) kÎ d’ qua O song song víi AB vµ CD c¾t BC vµ AD lÇn l­ît t¹i M vµ N.
V× AB // MN nªn AB // (SMN). Khi ®ã,

V× AB
SO, AB
EF nªn AB
(SEF) mµ MN // AB
MN
(SEF) hay (SEF)
(SMN)
Cã SO = (SEF)
(SMN). L¹i cã, EO
SO nªn EO
(SMN) hay

Mµ EO = OF. Khi ®ã,


* CHÚ Ý.
DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

B 1: X¸c ®Þnh (P) chøa ®­êng th¼ng a vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng b.
B 2: X¸c ®Þnh giao ®iÓm I cña (P) vµ b.
B 3: Trong (P) kÎ IH
a.
B 4: V× b
(P) nªn b
IH. Suy ra IH lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña a vµ b.

Lưu ý trường hợp đặc biệt a vuông góc với b:
Dựng mp(P) qua a (chẳng hạn) vuông góc với b tại B.
Trong (P) qua B vẽ đường thẳng vuông góc với a tại A
AB là đường vuông góc chung cần dựng



Bài tập.
1) Cho tø diÖn ABCD cã ®¸y BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a vµ AD = a, AD
BC. Kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn BC lµ a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.
X¸c ®Þnh vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD vµ BC.

2) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a.
Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña BD’ vµ CB’.
3) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a t©m O vµ SA
(ABCD)
SA =
.
Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña c¸c ®­êng th¼ng SC vµ BD.
Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña SC vµ AD.
4) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thoi c¹nh a t©m O vµ
. Cã SA = SC, SB = SD =
.
Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung gi÷a AD vµ SB.
Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung gi÷a hai ®­êng th¼ng BD vµ SC.





















PhÇn II.
CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN
* ThÓ tÝch cña khèi ®a diÖn
a) ThÓ tÝch khèi hép ch÷ nhËt
V = abc víi a, b, c lµ 3 kÝch th­íc cña khèi hộp ch÷ nhËt
b) ThÓ tÝch cña khèi chãp
V=
S®¸y . h ; h: ChiÒu cao cña khèi chãp
c) ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô
V= S®¸y . h ; h: ChiÒu cao cña khèi l¨ng trô
* ThÓ tÝch khèi cÇu, khèi trô, khèi nãn
a)ThÓ tÝch khèi cÇu V =
, R: b¸n kÝnh mÆt cÇu
b)ThÓ tÝch khèi trô V = S®¸y.h , h: chiÒu cao
c)ThÓ tÝch khèi nãn V =
S®¸y.h , h: chiÒu cao


(Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b ,
.Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc
.
1/Tính độ dài đoạn AC’
2/Tính V khối lăng trụ.
(Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A,B,C.Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc
.
1/Tính V khối lăng trụ.
2/C/m mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
3/Tính
hình lăng trụ.
(Bài 3: Tính V khối tứ diện đều cạnh a.
(Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
1/Biết AB =a và góc giữa mặt bên và đáy bằng
,tính V khối chóp.
2/Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng
.
Tính V khối chóp.
(Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
1/Biết AB=a và SA=l ,tính V khối chóp.
2/Biết SA=l và góc giữa mặt bên và đáy bằng
,tính V khối chóp.
(Bài 6: Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc giữa đường
cao với mặt bên là
.Tính V khối chóp cụt .
(Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
1/Tính
của hình trụ .
2/Tính V khối trụ tương ứng.
3/Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho .
(Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
.A và B là 2 điểm trên 2
đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
.
1/Tính
của hình trụ .
2/Tính V khối trụ tương ứng.
(Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a .
1/Tính
của hình nón.
2/Tính V khối nón tương ứng.
(Bài 10: Cho một tứ diện đều có cạnh là a .
1/Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
2/Tính S mặt cầu.
3/Tính V khối cầu tương ứng.
(Bài 11: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a ,cạnh bên hợp với mặt đáy
một góc
.
1/Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2/Tính S mặt cầu
3/Tính V khối cầu tương ứng.
(Bài 12: Cho hình nón có đường cao SO=h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên
đoạn OS, đặt OM = x (0 1/Tính S thiết diện
vuông góc với trục tại M.
2/ Tính V của khối nón đỉnh O và đáy
theo R ,h và x.
Xác định x sao cho V đạt giá trị lớn nhất?
(Bài 13: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là

.
1/Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp .
2/ Tính giá trị của
để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
(Bài 14: Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh l bằng đường kính đáy.Một hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc vớ đáy hình nón .
1/Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
2/Tính
của phần mặt nón nằm trong mặt cầu .
3/Tính S mặt cầu và so sánh với
của mặt nón.
(Bài 15: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a,góc giữa đường thẳng AB’ và mp(BB’CC’) bằng
.Tính
của hình lăng trụ.
(Bài 16: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu của A’ xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Cho
.
1/C/m BCC’B’ là hình chữ nhật .
2/Tính
của hình lăng trụ.
(Bài 17: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc
.
1/Tính
của hình chóp.
2/C/m rằng đường cao của hình chóp bằng :

3/ Gọi O là giao điểm các đường chéo của đáy ABCD .Xác định góc
để mặt cầu tâm O đi qua 5 điểm S,A,B,C,D.
(Bài 18: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,các cạnh bên tạo với đáy một góc
.Tính V khối chóp đó.
(Bài 19: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=5a ,BC =6a ,và các mặt bên tạo với đáy một góc
.Tính V khối chóp đó.
(Bài 20: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B.Cạnh SA vuông góc với đáy.Từ A kẻ các đoạn thẳng
.Biết AB=a, BC=b,SA=c.
1/Tính V khối chóp S.ADE.
2/Tính khoảng cách từ E đến mp(SAB) .
(Bài 21: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ 1 điểm trong bất kỳcủa 1 tứ diện đều đến các mặt của nó là 1 số không đổi .
(Bài 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =2a ,AA’ =a.Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM =3MD.
1/Tính V khối chóp M.AB’C
2/Tính khoảng cách từMđến mp(AB’C) .
(Bài 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =b ,AA’ =c.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’.Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ .
(Bài 24: Cho 2 đoạn thẳng AB và CD chéo nhau ,AC là đường vuông góc chung của chúng .Biết rằng AC=h, AB =a, CD =b và góc giữa 2 đường thẳng AB và CD bằng
.Tính V tứ diện ABCD.
(Bài 25: